Esimene teoreem, mille Pugh tõestab, kui ta on defineerinud Riemanni integraali, on see, et integreeritavus eeldab piiritust. See on teoreem 15 leheküljel 155 minu väljaandes. See näitab, et kõigepe alt tuleb definitsioonides kokku leppida.
Kas Riemanni integreeritav tähendab piiritletud?
Teoreem 4. Iga Riemanni integreeritav funktsioon on piiratud.
Kas piiramata funktsioonid on integreeritavad?
Piiramata funktsioon ei ole Riemann integreeritav. Edaspidi tähendab "integreeritav" "Riemanni integreeritavat" ja "integraalne" tähendab "Riemanni integreeritud", kui pole selgesõnaliselt öeldud teisiti. f(x)={ 1/x, kui 0 < x ≤ 1, 0 kui x=0. seega pole f ülemised Riemanni summad täpselt määratletud.
Kas Lebesgue'i integreeritav funktsioon on piiratud?
Mõõdetavad funktsioonid, mis on piiratud, on samaväärsed Lebesgue integreeritavate funktsioonidega. Kui f on piiratud funktsioon, mis on defineeritud mõõdetaval hulgal E lõpliku mõõduga. Siis on f mõõdetav siis ja ainult siis, kui f on Lebesgue'i integreeritav. … Teisest küljest on mõõdetavad funktsioonid "peaaegu" pidevad.
Kuidas teate, kas funktsioon on Lebesgue'iga integreeritav?
Kui f, g on sellised funktsioonid, et f=g on peaaegu kõikjal, siis f on Lebesgue integreeritav siis ja ainult siis, kui g on Lebesgue'i integreeritav ning f ja g integraalid on sama, kui need on olemas.
