Märkus: on tõsi, et iga piiratud jada sisaldab koonduvat alamjada ja pealegi koondub iga monotoonne jada siis ja ainult siis, kui see on piiratud. Lisatud Piiratud monotoonsete jadade garanteeritud konvergentsi kohta lisateabe saamiseks vaadake kirjet monotoonse konvergentsi teoreemi kohta.
Kas iga piiratud jada koondub R-s?
Teoreem väidab, et iga piiratud jada punktis R omab koonduvat alamjada. Samaväärne formuleering on see, et R alamhulk on järjestikku kompaktne siis ja ainult siis, kui see on suletud ja piiratud. Teoreemi nimetatakse mõnikord järjestikuse kompaktsuse teoreemiks.
Kas iga piiratud reaalarvude jada on koonduv?
Vastus ja selgitus: (a) Kas iga piiratud jada koondub? Ei.
Kas iga piiratud monotoonne jada koondub?
Mitte kõik piiratud jadad, nagu (−1)n, converge, aga kui me teaksime, et piiratud jada on monotoonne, siis see muutuks. kui an ≥ an+1 kõigi n ∈ N korral. Jada on monotoonne, kui see on kas kasvav või kahanev. ja piiratud, siis see läheneb.
Kas kõigil piiratud jadadel on konvergentne alamjada?
Bolzano-Weierstrassi teoreem: Igal Rn-i piiratud jadal on konvergentne alamjada. of {xmk } on reaalarvude piiratud jada, seega on ka sellel konvergentne alamjada … Seevastu iga piiratud jada onsuletud ja piiratud hulk, seega on sellel koonduv alamjada.
