Meetrilise ruumi täielikkus ei ole säilinud homöomorfismi poolt.
Mida homöomorfism säilitab?
Homomorfism, mida nimetatakse ka pidevaks teisenduseks, on ekvivalentsuhe ja üks-ühele vastavus kahe geomeetrilise kujundi või topoloogilise ruumi punktide vahel, mis on pidev mõlemas suunas. Homöomorfismi, mis säilitab ka kaugused, nimetatakse isomeetriaks.
Kas homöomorfism säilitab kompaktsuse?
3.3 Kompaktsete ruumide omadused
Me märkisime varem, et kompaktsus on tühiku topoloogiline omadus, st seda säilitab homöomorfism. Veelgi enam, seda säilitavad kõik pidevad funktsioonid.
Kas täielikkus on topoloogiline omadus?
Täielikkus ei ole topoloogiline omadus, st ei saa järeldada, kas meetriline ruum on täielik, vaadates ainult selle aluseks olevat topoloogilist ruumi.
Miks piiritus ei ole topoloogiline omadus?
Meetriliste ruumide puhul on meil piiritlemise mõiste: see tähendab, et meetriline ruum on piiratud, kui on mingi reaalarv M, nii et d(x, y) ≤ M kõigi x, y korral. Piiratus ei ole topoloogiline omadus. Näiteks (0, 1) ja (1, ∞) on homöomorfsed, kuid üks on piiratud ja teine mitte. ∞ n=1 on punktide jada X-s.
